平行线的判定与性质专项训练（5）——相交线与平行线（16）尖子生之路[七下系列]
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平行线的判定与性质专项训练（5）
——相交线与平行线（16）
【例题】如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【解析】
（1）由AM∥BN，根据“平行线的性质”可求得∠ABN＝1800－∠A＝1200，再由BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，根据角平分线的定义，可得到∠CBP＝0.5∠ABP，∠PBD＝0.5∠PBN，得到∠CBD＝0.5(∠ABP+∠PBN)=0.5∠ABN＝600.如下图示：
【解】∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A=180°，
∴∠ABN=180°﹣60°=120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠CBP =0.5∠ABP，
∠DBP =0.5∠PBN，
∴∠CBP+∠DBP=0.5(∠ABP+∠PBN)
=0.5∠ABN＝600.
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°.
（2）由AM∥BN，根据“平行线的性质“可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由BD平分∠PBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，所以∠APB：∠ADB＝2∠DBN：∠DBN＝2：1.如下图示：
详细解答过程如下：
【解】不变，∠APB：∠ADB=2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN=2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB=2：1；
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，由平行线的性质可得到∠ACB=∠∠CBN，结合已知条件可得到∠DBN=∠ABD，所以∠1＝∠2. 如下图示：
同时由BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，如下图示：
再由（1）得：∠ABN＝1200，所以∠1＝300.即∠ABC＝300.
详细解答过程如下：
【解】∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
当∠ACB=∠ABD时，
有∠CBN=∠ABD，
∴∠1+∠CBD=∠CBD+∠2
∴∠1＝∠2，
由（1）可知:
∠1＝∠3，∠2＝∠4.
∴∠1=1/4×∠ABN
＝1/4×120°＝300.
即∠ABC=30°．
【反思】本题主要考查角平分线的定义与平行线的判定和性质的综合运用．
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【拓展】如图，已知AM∥BN，∠BAM=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P在直线AM上运动时（P点不与A点重合），能否使∠ACB=∠ABD时，若能求∠ABC的度数，若不能说明理由.
【提示】与原题解法类似，答案如下：（1）600，（2）不能（提示：可以证明当点P与A点重合时，才符合条件，因此不可以）
【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系，再结合图形思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系.
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